8.6 Gradients, Tangents and Normals

基础练习题

练习1：求切线方程

求曲线 \( y = x^2 - 2x + 3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。

提示

先求导数，再求切线梯度，最后写点斜式方程。

练习2：求法线方程

求曲线 \( y = 3x^2 + 2x - 1 \) 在 \( (1, 4) \) 处的法线方程。

提示

法线梯度是切线梯度的负倒数。

练习3：切线与法线交点

求曲线 \( y = x^3 - x \) 在 \( (1, 0) \) 处的切线和法线的交点。

提示

联立切线和法线方程求交点。

进阶练习题

练习4：多点切线

求曲线 \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \) 在 \( x = 2 \) 和 \( x = -1 \) 处的切线方程。

提示

分别计算每个点的导数值和切线方程。

练习5：垂直线验证

验证曲线 \( y = x^2 + 2 \) 在 \( (1, 3) \) 处的法线确实与切线垂直。

提示

两直线垂直的条件是梯度乘积为-1。

挑战练习题

练习6：相切直线

求与曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 相切且梯度为3的直线方程。

提示

设切点为(a, f(a))，切线梯度为f'(a)=3，联立求a。

练习7：过定点切线

求过点(0, -2)且与曲线 \( y = 2x^3 - x^2 - 4x + 3 \) 相切的直线方程。

提示

设切线为y = mx - 2，联立求判别式为0。

练习8：切线交点

曲线 \( y = x^3 - 3x + 1 \) 在不同两点的切线交于P点，求P点的坐标。

提示

设两切点a和b，联立两切线方程求交点。

练习题答案

练习1答案

\( y = (x^2 - 2x + 3)' = 2x - 2 \)，\( x=1 \)时梯度=0，切线方程：\( y - 2 = 0(x - 1) \)，即 \( y = 2 \)。

练习2答案

\( y = (3x^2 + 2x - 1)' = 6x + 2 \)，\( x=1 \)时梯度=8，法线梯度=-1/8，方程：\( y - 4 = -\frac{1}{8}(x - 1) \)。

练习3答案

交点为(0, -1)。

练习4答案

x=2处：y = 4x - 12；x=-1处：y = -8x - 3。

练习5答案

切线梯度=2，法线梯度=-1/2，乘积=-1，确实垂直。

练习6答案

切点(2, 1)，切线方程：y = 3x - 5。

练习7答案

y = 3x - 2。

练习8答案

P点坐标为(1, -1)。